扩展线一定是等斜线，而等斜线是一组等产量曲线中两要素的边际技术替代率相等的点的轨迹。边际技术替代率MRST=-dK/dL，所以只要将该生产函数改写为K关于L的函数并将Q看作是一个常数，再求一阶导就得到该方程。
所有的最优组合轨迹一定是按w/r这个结构落在各条等生产线上，柯布—道格拉斯 生产函数的扩展线推导出来的就是K/L=(α/β)×(w/r)。
在生产要素的价格，生产技术和其他条件不变的情况下，当生产的成本或产量发生变化时，厂商必然会沿着扩展线来选择最优的生产要素组合，从而实现既定成本条件下的最大产量，或实现既定产量条件下的最小成本。
扩展资料：
每个时期各种投入要素的使用量，与利用这些投入所能生产某种商品的最大数量之间的关系。生产函数表明了厂商所受到的技术约束。
Q= f（L，K，N，E）
式中，各变量分别代表产量、投入的劳动、资本、土地、企业家才能。
其中N是固定的，E难以估算，所以一般的简化为
Q = f（L、K）
长短期的划分是以生产者能否变动所有的要素投入量来作为标准的，而不同的产品的生产，长短期的划分是不固定的。
比如，一家纺织厂要将所有的要素投入改变需要的时间可能是一年，但是一家豆腐坊改变所有生产要素的时间只需要三个月就够了，也就是说，三个月对于豆腐坊来说是长期，对于纺织厂来说则是短期。
