橢圓弦長公式
橢圓弦長公式是一個數學公式，關於直線與圓錐曲線相交求弦長，通用方法是將直線y=kx+b代入曲線方程，化爲關於x(或關於y)的一元二次方程，設出交點座標，利用韋達定理及弦長公式√(1+K²)[(X1+X2)² - 4·X1·X2]求出弦長。
設而不求的思想方法對於求直線與曲線相交弦長是十分有效的，然而對於過焦點的圓錐曲線弦長求解利用這種方法相比較而言有點繁瑣，利用圓錐曲線定義及有關定理導出各種曲線的焦點弦長公式就更爲簡捷。
推導
設直線y=kx+b
代入橢圓的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1
設兩交點爲A、B，點A爲（x1，y1)，點B爲(x2，y2)
則有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]
把y1=kx1+b.y2=kx2+b分別代入
則有：
AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²
=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]
=│x1-x2│ √ (1+k²) 同理可以證明：弦長=│y1-y2│√[(1/k²)+1]
設焦點弦端點爲A，B，A，B橫座標分別爲x1，x2，A，B到與焦點對應的準線的距離分別爲d1，d2，焦點弦過焦點F
則離心率e=AF/d1=BF/d2=(AF+BF)/(d1+d2)=AB/(d1+d2)=AB/[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]
焦點弦長AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]
若F爲右焦點，則d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=(a^2)/c-x1+(a^2)/c-x2=2(a^2)/c-(x1+x2)
焦點弦長AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[2(a^2)/c-(x1+x2)]=2(c/a)(a^2)/c-e(x1+x2)
=2a-e(x1+x2)
若F爲左焦點，則d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=x1-(a^2)/c+x2-(a^2)/c=(x1+x2)-2(a^2)/c
焦點弦長AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[(x1+x2)-2(a^2)/c]=e(x1+x2)-2(c/a)(a^2)/c
=e(x1+x2)-2a
