通常称为指数级数的这种幂级数，事实上可认为是数学里最重要的级数，它是由英国伟大的数学家和物理学家牛顿（1642 – 1727年）所发现的。他的包含正弦级数、余弦级数、反正弦级数、对数级数、二项级数以及指数级数的这篇著名论文写于1665年。然而牛顿指数级数的解法不太严谨且过于复杂。
下面的解法是以函数x^n和函数e^x的平均值为基础的。
借助于指数函数不等式 （1） e^u > 1 + u ，可求得函数ex的平均值。
考虑指数函数自变量的两个连续值v和V = v + φ > v，并且先以u = φ然后以u = –φ代入（1），分别得到 e^φ > 1 + φ及e^(–φ) > 1 – φ。
分别乘以ev及eV，则得 e^V > e^v + φe^v及e^v > ^eV – φe^V。
